$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le 0$ のとき、関数 $y = \cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2\sin \theta$ について、 (1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = t$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) (1) を $t$ で表せ。 (3) (1) の最大値、最小値とそれを与える $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le 0$ のとき、関数 $y = \cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2\sin \theta$ について、

(1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = t$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) (1) を $t$ で表せ。

(3) (1) の最大値、最小値とそれを与える $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を変形する。三角関数の合成を行う。

$t = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le 0$ なので、$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{3}$

すなわち、 $-\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{3}$

したがって、$-\frac{1}{2} \le \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、 $-1 \le 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \le \sqrt{3}$

$-1 \le t \le \sqrt{3}$

(2) $y = \cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2\sin \theta$ を変形する。

$y = (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) + \sqrt{3} (2\sin \theta \cos \theta) - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2\sin \theta$

$y = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta - 2(\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta)$

$t = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ より $t^2 = \sin^2 \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta + 3\cos^2 \theta$

$t^2 = \sin^2 \theta + 3\cos^2 \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta$

$t^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\cos^2 \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta$

$t^2 = 1 + 2\cos^2 \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta$

$2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta = t^2 - 1 - 2\cos^2 \theta$

$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta - (t - \sqrt{3} \cos \theta)^2$

$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta - (t^2 - 2\sqrt{3}t\cos \theta + 3\cos^2 \theta)$

$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = -t^2 + 2\sqrt{3}t\cos \theta - 2\cos^2 \theta$

$y = -t^2 + 2\sqrt{3}t\cos \theta - 2\cos^2 \theta + (t^2 - 1 - 2\cos^2 \theta) - 2t$

$y = -1 - 2t - 4\cos^2 \theta + 2\sqrt{3} t \cos \theta$

$t = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$を変形して$\sin \theta = t-\sqrt{3} \cos \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = (t-\sqrt{3} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$t^2 - 2\sqrt{3} t \cos \theta + 3 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$4 \cos^2 \theta - 2\sqrt{3} t \cos \theta + t^2 -1 = 0$

$y = -1 - 2t - (t^2 - 1) = -t^2 - 2t$

(3) $y = -t^2 - 2t = -(t^2 + 2t) = -(t^2 + 2t + 1 - 1) = -(t+1)^2 + 1$

$-1 \le t \le \sqrt{3}$

$t = -1$ のとき $y = 1$ （最大値）

$t = \sqrt{3}$ のとき $y = -(\sqrt{3}+1)^2 + 1 = -(3 + 2\sqrt{3} + 1) + 1 = -3 - 2\sqrt{3}$ (最小値)

$t = -1$ のとき、$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = -1$

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = -1$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$

$\theta = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$

$t = \sqrt{3}$ のとき、$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = \sqrt{3}$

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$

$\theta = 0$

3. 最終的な答え

(1) $-1 \le t \le \sqrt{3}$

(2) $y = -t^2 - 2t$

(3) 最大値: 1 ( $\theta = -\frac{\pi}{2}$ )、最小値: $-3-2\sqrt{3}$ ( $\theta = 0$ )