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$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を解け。

解析学三角関数方程式sin角度
2025/4/26

1. 問題の内容

0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、方程式 sin⁡(θ−π3)=−32\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} を解け。

2. 解き方の手順

まず、x=θ−π3x = \theta - \frac{\pi}{3} とおくと、与えられた方程式は sin⁡x=−32\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} となります。
0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi であるから、
−π3≤θ−π3<2π−π3-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3}
−π3≤x<5π3-\frac{\pi}{3} \le x < \frac{5\pi}{3}
sin⁡x=−32\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} を満たす xx の値は、
x=4π3,5π3x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} です。
ここで、x=θ−π3x = \theta - \frac{\pi}{3} より、θ=x+π3\theta = x + \frac{\pi}{3} であるから、
θ=4π3+π3=5π3\theta = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}
θ=5π3+π3=6π3=2π\theta = \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi
ただし、0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi　より、θ=2π\theta = 2\pi は範囲外であるため、解として不適です。
したがって、解は θ=5π3\theta = \frac{5\pi}{3} です。

3. 最終的な答え

θ=5π3\theta = \frac{5\pi}{3}

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