与えられた極限を計算します。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \sin(\frac{2n\pi}{3})$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \sin(\frac{2n\pi}{3})$

2. 解き方の手順

まず、$\sin$関数の範囲を考えます。$\sin(x)$ は常に $-1$ 以上 $1$ 以下の値を取ります。

$-1 \le \sin(\frac{2n\pi}{3}) \le 1$

この不等式の各辺を $\frac{1}{2^n}$ で割ります。$2^n$ は常に正なので、不等号の向きは変わりません。

$-\frac{1}{2^n} \le \frac{1}{2^n} \sin(\frac{2n\pi}{3}) \le \frac{1}{2^n}$

ここで、$n \to \infty$ のときの $\frac{1}{2^n}$ の極限を考えます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{2^n} = 0$

はさみうちの原理より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \sin(\frac{2n\pi}{3}) = 0$

3. 最終的な答え

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