定積分 $\int_{-2}^{2} (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、多項式を項ごとに積分します。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いて各項を積分します。

$\int_{-2}^{2} (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx = a_3 \int_{-2}^{2} x^3 dx + a_2 \int_{-2}^{2} x^2 dx + a_1 \int_{-2}^{2} x dx + a_0 \int_{-2}^{2} dx$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int_{-2}^{2} x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{(-2)^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{16}{4} = 0$

$\int_{-2}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{16}{3}$

$\int_{-2}^{2} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{4}{2} = 0$

$\int_{-2}^{2} dx = \left[ x \right]_{-2}^{2} = 2 - (-2) = 4$

したがって、

$\int_{-2}^{2} (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx = a_3(0) + a_2(\frac{16}{3}) + a_1(0) + a_0(4) = \frac{16}{3}a_2 + 4a_0$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}a_2 + 4a_0$