関数 $f(x) = ||x-1|-x|$ について、以下の問題を解きます。 (ア) $f(0)$ の値を求める。 (イ) $f(x) = 0$ の解を求める。 (ウ) $y = f(x)$ のグラフと $y = mx$ の直線が共有点をもつような $m$ の値の範囲を求める。 (エ) $y = f(x)$ のグラフと $y = mx$ の直線が異なる3点で交わるような $m$ の値の範囲を求める。 (オ) $y = f(x)$ のグラフと $y = mx$ の直線がちょうど2個の共有点をもつとき、それらで囲まれる部分の面積を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ||x-1|-x|$ について、以下の問題を解きます。

(ア) $f(0)$ の値を求める。

(イ) $f(x) = 0$ の解を求める。

(ウ) $y = f(x)$ のグラフと $y = mx$ の直線が共有点をもつような $m$ の値の範囲を求める。

(エ) $y = f(x)$ のグラフと $y = mx$ の直線が異なる3点で交わるような $m$ の値の範囲を求める。

(オ) $y = f(x)$ のグラフと $y = mx$ の直線がちょうど2個の共有点をもつとき、それらで囲まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(ア) $f(0)$ を計算する。

$f(0) = ||0-1| - 0| = |1 - 0| = 1$.

(イ) $f(x) = 0$ の解を求める。

$||x-1| - x| = 0$ より、 $|x-1| - x = 0$。

したがって、 $|x-1| = x$。

場合分けをする。

(i) $x \ge 1$ のとき、 $x-1 = x$ となり、 $-1 = 0$ となるので不適。

(ii) $x < 1$ のとき、 $-x+1 = x$ となり、$2x = 1$ より $x = \frac{1}{2}$.

これは $x < 1$ を満たすので、$x = \frac{1}{2}$.

(ウ) $f(x) = ||x-1|-x|$ のグラフを考える。

(i) $x \ge 1$ のとき、$f(x) = |x-1-x| = |-1| = 1$.

(ii) $0 \le x < 1$ のとき、$f(x) = |-x+1-x| = |1-2x|$.

(a) $0 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$f(x) = 1-2x$.

(b) $\frac{1}{2} < x < 1$ のとき、$f(x) = 2x-1$.

(iii) $x < 0$ のとき、$f(x) = |1-2x| = 1-2x$.

$y = f(x)$ と $y = mx$ が共有点を持つ条件を考える。

$x < 0$ では、$1-2x = mx$ より、$x = \frac{1}{m+2}$. $x<0$ より、$m+2 < 0$, $m < -2$.

$0 \le x \le \frac{1}{2}$ では、$1-2x = mx$ より、$x = \frac{1}{m+2}$. $0 \le x \le \frac{1}{2}$ より、$0 \le \frac{1}{m+2} \le \frac{1}{2}$. $m+2 \ge 2$ より、$m \ge 0$.

$\frac{1}{2} < x < 1$ では、$2x-1 = mx$ より、$x = \frac{1}{2-m}$. $\frac{1}{2} < x < 1$ より、$1 < 2-m < 2$. $0 < m < 1$.

$x \ge 1$ では、$1 = mx$ より、$x = \frac{1}{m}$. $x \ge 1$ より、$0 < m \le 1$.

よって、$m \le 1$.

(エ) 異なる3点で交わるのは、$0 < m < 1$ のとき。

(オ) ちょうど2個の共有点をもつのは、$m = 0$ と $m=1$ と $m<-2$のとき。

$m=1$のとき、$f(x)=x$となる。$x<0$の範囲では$1-2x=x$より$x=1/3$これは条件を満たさない。$x\ge 1$の範囲では$1=x$なので、$(1,1)$となる。$\frac12<x<1$の範囲では$2x-1=x$より$x=1$となり条件を満たさない。

$m=0$のとき、$y=0$となる。$x\ge1$のとき、$1=0$となり条件を満たさない。$\frac12<x<1$のとき、$2x-1=0$より、$x=\frac12$これは条件を満たさない。$0\le x\le \frac12$のとき、$1-2x=0$より、$x=\frac12$。これは条件を満たす。$x<0$のとき、$1-2x=0$より$x=\frac12$これは条件を満たさない。

$y=f(x)$と$y=0$で囲まれる部分の面積は$\int_{0}^{1/2}(1-2x) dx= [x-x^2]_{0}^{1/2} = \frac12 - \frac14 = \frac14$.

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: $\frac{1}{2}$

ウ: $m \le 1$

エ: $0 < m < 1$

オ: $\frac{1}{4}$