次の関数を微分せよ。 (1) $y = \log 3x$ (2) $y = \log_2 (4x-1)$ (3) $y = \log(x^2+1)$ (4) $y = x \log x - x$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \log 3x$

(2) $y = \log_2 (4x-1)$

(3) $y = \log(x^2+1)$

(4) $y = x \log x - x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \log 3x$ の微分

$\log$は底が10の対数であるから、$\log 3x = \log_{10} 3x$である。

合成関数の微分を使う。$\frac{d}{dx}\log x = \frac{1}{x \ln 10}$ である。

$y' = \frac{1}{3x \ln 10} \cdot (3x)' = \frac{3}{3x \ln 10} = \frac{1}{x \ln 10}$

(2) $y = \log_2 (4x-1)$ の微分

合成関数の微分を使う。$\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x \ln a}$ である。

$y' = \frac{1}{(4x-1) \ln 2} \cdot (4x-1)' = \frac{4}{(4x-1) \ln 2}$

(3) $y = \log(x^2+1)$ の微分

合成関数の微分を使う。

$y' = \frac{1}{(x^2+1) \ln 10} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{(x^2+1) \ln 10}$

(4) $y = x \log x - x$ の微分

積の微分と $\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x \ln 10}$ を使う。

$y' = (x)' \log x + x (\log x)' - (x)' = \log x + x \cdot \frac{1}{x \ln 10} - 1 = \log x + \frac{1}{\ln 10} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1}{x \ln 10}$

(2) $y' = \frac{4}{(4x-1) \ln 2}$

(3) $y' = \frac{2x}{(x^2+1) \ln 10}$

(4) $y' = \log x + \frac{1}{\ln 10} - 1$