与えられた2つの極限の条件から、$f(x)$ が $(x+1)^2$ と $x-3$ で割り切れると言える理由を説明する問題です。与えられた条件は以下の通りです。 $\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限の条件から、$f(x)$ が $(x+1)^2$ と $x-3$ で割り切れると言える理由を説明する問題です。与えられた条件は以下の通りです。

$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$

2. 解き方の手順

まず、極限の定義を理解することが重要です。

* $\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ ということは、$x$ が $-1$ に近づくとき、$\frac{f(x)}{(x+1)^2}$ は $-1$ に近づくということです。この極限が存在するためには、少なくとも $x = -1$ において $f(x)$ は $(x+1)^2$ を因数として持たなければなりません。なぜなら、もし $f(-1) \neq 0$ であれば、$\frac{f(x)}{(x+1)^2}$ は発散してしまい、有限な値に収束しないからです。したがって、$f(x) = (x+1)^2 g(x)$ と書けるような関数 $g(x)$ が存在します。さらに、$\lim_{x \to -1} g(x) = -1$ である必要があります。

* 同様に、$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$ ということは、$x$ が $3$ に近づくとき、$\frac{f(x)}{x-3}$ は $3$ に近づくということです。この極限が存在するためには、$x = 3$ において $f(x)$ は $(x-3)$ を因数として持たなければなりません。もし $f(3) \neq 0$ であれば、$\frac{f(x)}{x-3}$ は発散してしまい、有限な値に収束しないからです。したがって、$f(x) = (x-3) h(x)$ と書けるような関数 $h(x)$ が存在します。さらに、$\lim_{x \to 3} h(x) = 3$ である必要があります。

* 以上の2つの条件から、$f(x)$ は $(x+1)^2$ と $(x-3)$ を因数として持つ必要があります。したがって、$f(x)$ は $(x+1)^2$ と $x-3$ のどちらでも割り切れます。

3. 最終的な答え

$f(x)$ が $(x+1)^2$ で割り切れる理由は、$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ が存在するためです。もし $f(x)$ が $(x+1)^2$ で割り切れなければ、この極限は存在しません。同様に、$f(x)$ が $(x-3)$ で割り切れる理由は、$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$ が存在するためです。もし $f(x)$ が $(x-3)$ で割り切れなければ、この極限は存在しません。