次の関数を微分する問題です。 (1) $y = \log 3x$ (2) $y = \log_2(4x-1)$ (3) $y = \log(x^2+1)$ (4) $y = x\log x - x$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = \log 3x$

(2) $y = \log_2(4x-1)$

(3) $y = \log(x^2+1)$

(4) $y = x\log x - x$

2. 解き方の手順

一般に、$\{\log f(x)\}' = \frac{f'(x)}{f(x)}$が成り立ちます。また、$\{\log_a f(x)\}' = \frac{f'(x)}{f(x) \log a}$が成り立ちます。

(1) $y = \log 3x$ の場合、 $f(x) = 3x$ なので、$f'(x) = 3$。したがって、

$y' = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}$

(2) $y = \log_2(4x-1)$ の場合、$f(x) = 4x-1$ なので、$f'(x) = 4$。したがって、

$y' = \frac{4}{(4x-1)\log 2}$

(3) $y = \log(x^2+1)$ の場合、$f(x) = x^2+1$ なので、$f'(x) = 2x$。したがって、

$y' = \frac{2x}{x^2+1}$

(4) $y = x\log x - x$ の場合、$y' = (x\log x)' - x' = (x'\log x + x(\log x)') - 1 = (\log x + x\cdot \frac{1}{x})-1 = \log x + 1 - 1 = \log x$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1}{x}$

(2) $y' = \frac{4}{(4x-1)\log 2}$

(3) $y' = \frac{2x}{x^2+1}$

(4) $y' = \log x$