次の4つの関数を微分せよ。 (1) $y = \log 3x$ (2) $y = \log_2 (4x - 1)$ (3) $y = \log (x^2 + 1)$ (4) $y = x \log x - x$

1. 問題の内容

次の4つの関数を微分せよ。

(1) $y = \log 3x$

(2) $y = \log_2 (4x - 1)$

(3) $y = \log (x^2 + 1)$

(4) $y = x \log x - x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \log 3x$

対数の底が省略されているので、常用対数(底が10)とみなします。

$y = \log 3x = \frac{\log_e 3x}{\log_e 10} = \frac{\ln 3x}{\ln 10}$

したがって、

$y' = \frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{3}{3x} = \frac{1}{x \ln 10}$

(2) $y = \log_2 (4x - 1)$

$y = \log_2 (4x - 1) = \frac{\log_e (4x - 1)}{\log_e 2} = \frac{\ln (4x - 1)}{\ln 2}$

$y' = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{4}{4x - 1} = \frac{4}{(4x - 1) \ln 2}$

(3) $y = \log (x^2 + 1)$

対数の底が省略されているので、常用対数(底が10)とみなします。

$y = \log (x^2 + 1) = \frac{\ln (x^2 + 1)}{\ln 10}$

$y' = \frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{2x}{(x^2 + 1) \ln 10}$

(4) $y = x \log x - x$

対数の底が省略されているので、常用対数(底が10)とみなします。

$y = x \log x - x = x \frac{\ln x}{\ln 10} - x$

$y' = \frac{1}{\ln 10} (\ln x + x \cdot \frac{1}{x}) - 1 = \frac{\ln x + 1}{\ln 10} - 1 = \frac{\ln x + 1 - \ln 10}{\ln 10} = \frac{\ln x - \ln 10 + 1}{\ln 10}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1}{x \ln 10}$

(2) $y' = \frac{4}{(4x - 1) \ln 2}$

(3) $y' = \frac{2x}{(x^2 + 1) \ln 10}$

(4) $y' = \frac{\ln x - \ln 10 + 1}{\ln 10}$