画像に示された定積分を計算して、面積 $S$ を求める問題です。途中の式は与えられており、 $S = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2\theta \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos 3\theta + \cos \theta) d\theta$ の計算を実行し、$S$ の値を求めます。

1. 問題の内容

画像に示された定積分を計算して、面積 $S$ を求める問題です。途中の式は与えられており、

$S = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2\theta \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos 3\theta + \cos \theta) d\theta$

の計算を実行し、$S$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた積分を計算します。

まず、$\cos 3\theta$と$\cos \theta$の積分を計算します。

$\int \cos 3\theta d\theta = \frac{1}{3} \sin 3\theta + C$

$\int \cos \theta d\theta = \sin \theta + C$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos 3\theta + \cos \theta) d\theta = \left[ \frac{1}{3} \sin 3\theta + \sin \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

次に、積分範囲の上端と下端の値を代入します。

$\left[ \frac{1}{3} \sin 3\theta + \sin \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left( \frac{1}{3} \sin \frac{3\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \right) - \left( \frac{1}{3} \sin 0 + \sin 0 \right)$

$= \frac{1}{3} \sin \frac{3\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} - 0$

$\sin \frac{3\pi}{4} = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、

$\frac{1}{3} \sin \frac{3\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{2\sqrt{2}}{3}$