与えられた極限の条件を満たす整式 $f(x)$ のうち、次数が最も低いものを求める問題です。条件は次の2つです。 $\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$

1. 問題の内容

与えられた極限の条件を満たす整式 $f(x)$ のうち、次数が最も低いものを求める問題です。条件は次の2つです。

$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$

2. 解き方の手順

まず、最初の極限の条件から、$f(x)$ は $x = -1$ で重根を持つことがわかります。なぜなら、$x \to -1$ のとき分母が0に近づき、極限が存在するためには分子も0に近づかなければならないからです。さらに、分母が $(x+1)^2$ であることから、$f(x)$ は $(x+1)^2$ を因数に持つと考えられます。

したがって、$f(x) = (x+1)^2 g(x)$ と書けます（$g(x)$は整式）。

これを最初の極限の式に代入すると、

$\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)^2 g(x)}{(x+1)^2} = \lim_{x \to -1} g(x) = -1$

したがって、$g(-1) = -1$ が成り立ちます。

次に、2番目の極限の条件から、$x \to 3$ のとき分母が0に近づくため、分子も0に近づかなければなりません。つまり、$f(3) = 0$ である必要があります。

$f(3) = (3+1)^2 g(3) = 16 g(3) = 0$

したがって、$g(3) = 0$ が成り立ちます。

$g(x)$ は $x = 3$ と $x = -1$ を解に持つので、次数が最小となるのは $g(x)$ が1次式の場合です。したがって、$g(x) = a(x-3)$ と書けます。

$g(-1) = -1$ より、$a(-1-3) = -1$, $-4a = -1$, $a = \frac{1}{4}$

よって、$g(x) = \frac{1}{4}(x-3)$

したがって、$f(x) = (x+1)^2 g(x) = (x+1)^2 \cdot \frac{1}{4} (x-3) = \frac{1}{4}(x+1)^2(x-3)$

展開すると、$f(x) = \frac{1}{4}(x^2+2x+1)(x-3) = \frac{1}{4}(x^3+2x^2+x-3x^2-6x-3) = \frac{1}{4}(x^3-x^2-5x-3)$

$f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{4}x - \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{1}{4}(x+1)^2(x-3) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{4}x - \frac{3}{4}$