関数 $y = x^3 + 6x$ を微分する。

## 問題 3.10 (1)

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 + 6x$ を微分する。

2. 解き方の手順

$x^n$ の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ と、定数倍の微分公式 $\frac{d}{dx}(cf(x)) = c\frac{d}{dx}f(x)$、和の微分公式 $\frac{d}{dx}(f(x)+g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}g(x)$ を用いる。

$y = x^3 + 6x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}x^3 + \frac{d}{dx}6x$

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3-1} + 6\frac{d}{dx}x$

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 6(1)$

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 6$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 6$

## 問題 3.10 (2)

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 1 - x + 2x^2$ を微分する。

2. 解き方の手順

$x^n$ の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ と、定数倍の微分公式 $\frac{d}{dx}(cf(x)) = c\frac{d}{dx}f(x)$、和/差の微分公式 $\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) \pm \frac{d}{dx}g(x)$、定数の微分公式 $\frac{d}{dx}c = 0$ を用いる。

$f(x) = 1 - x + 2x^2$

$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - x + 2x^2)$

$f'(x) = \frac{d}{dx}1 - \frac{d}{dx}x + \frac{d}{dx}2x^2$

$f'(x) = 0 - 1 + 2\frac{d}{dx}x^2$

$f'(x) = -1 + 2(2x)$

$f'(x) = -1 + 4x$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 4x - 1$

## 問題 3.10 (4)

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^3}$ を微分する。

2. 解き方の手順

まず、関数を $y = x^{-3}$ と書き換える。

次に、$x^n$ の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ を用いる。

$y = x^{-3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}x^{-3}$

$\frac{dy}{dx} = -3x^{-3-1}$

$\frac{dy}{dx} = -3x^{-4}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{x^4}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{x^4}$

## 問題 3.10 (6)

1. 問題の内容

関数 $g(t) = \frac{t^2 - 1}{t}$ を微分する。

2. 解き方の手順

まず、関数を $g(t) = \frac{t^2}{t} - \frac{1}{t} = t - t^{-1}$ と書き換える。

次に、$t^n$ の微分公式 $\frac{d}{dt}t^n = nt^{n-1}$ を用いる。

$g(t) = t - t^{-1}$

$g'(t) = \frac{d}{dt}(t - t^{-1})$

$g'(t) = \frac{d}{dt}t - \frac{d}{dt}t^{-1}$

$g'(t) = 1 - (-1)t^{-2}$

$g'(t) = 1 + t^{-2}$

$g'(t) = 1 + \frac{1}{t^2}$

$g'(t) = \frac{t^2 + 1}{t^2}$

3. 最終的な答え

$g'(t) = 1 + \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 + 1}{t^2}$

## 問題 3.10 (9)

1. 問題の内容

関数 $y = u^2 \sqrt{u}$ を微分する。

2. 解き方の手順

まず、関数を $y = u^2 \cdot u^{1/2} = u^{2 + 1/2} = u^{5/2}$ と書き換える。

次に、$u^n$ の微分公式 $\frac{dy}{du}u^n = nu^{n-1}$ を用いる。

$y = u^{5/2}$

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}u^{5/2}$

$\frac{dy}{du} = \frac{5}{2}u^{\frac{5}{2} - 1}$

$\frac{dy}{du} = \frac{5}{2}u^{\frac{3}{2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{du} = \frac{5}{2}u^{\frac{3}{2}}$

## 問題 3.10 (10)

1. 問題の内容

関数 $y = t - \frac{1}{\sqrt{t}}$ を微分する。

2. 解き方の手順

まず、関数を $y = t - t^{-1/2}$ と書き換える。

次に、$t^n$ の微分公式 $\frac{d}{dt}t^n = nt^{n-1}$ を用いる。

$y = t - t^{-1/2}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t - t^{-1/2})$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}t - \frac{d}{dt}t^{-1/2}$

$\frac{dy}{dt} = 1 - (-\frac{1}{2})t^{-\frac{1}{2}-1}$

$\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{2}t^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{2t^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{2t^{\frac{3}{2}}}$

## 問題 3.13 (8)

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ を微分する。

2. 解き方の手順

商の微分公式 $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ を用いる。

ここで、$f(x) = 1 - \sqrt{x}$ かつ $g(x) = 1 + \sqrt{x}$ である。

$f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}(1+\sqrt{x}) - (1-\sqrt{x})\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(1+\sqrt{x})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2}}{(1+\sqrt{x})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}}}{(1+\sqrt{x})^2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}$

## 問題 3.16 (1)

1. 問題の内容

関数 $y = (2x^2 - 3x + 5)^4$ を微分する。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用いる。

$u = 2x^2 - 3x + 5$ とおく。

すると $y = u^4$ となる。

$\frac{dy}{du} = 4u^3 = 4(2x^2 - 3x + 5)^3$

$\frac{du}{dx} = 4x - 3$

$\frac{dy}{dx} = 4(2x^2 - 3x + 5)^3 (4x - 3)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 4(4x - 3)(2x^2 - 3x + 5)^3$

## 問題 3.16 (4)

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{2 + x^3}$ を微分する。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用いる。

$u = 2 + x^3$ とおく。

すると $y = \sqrt{u} = u^{1/2}$ となる。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{2+x^3}}$

$\frac{du}{dx} = 3x^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2+x^3}} \cdot 3x^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2\sqrt{2+x^3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2\sqrt{2+x^3}}$