与えられた関数を微分する問題です。具体的には以下の4つの関数を微分します。 (1) $y = \frac{2}{x^2-1}$ (2) $y = \frac{5x}{2x-3}$ (3) $y = \frac{2x+1}{3x+1}$ (4) $y = \frac{x-1}{x^2+1}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には以下の4つの関数を微分します。

(1) $y = \frac{2}{x^2-1}$

(2) $y = \frac{5x}{2x-3}$

(3) $y = \frac{2x+1}{3x+1}$

(4) $y = \frac{x-1}{x^2+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{2}{x^2-1}$ の場合:

$y = 2(x^2-1)^{-1}$ と変形できます。

合成関数の微分公式を用いて微分します。

$\frac{dy}{dx} = 2(-1)(x^2-1)^{-2}(2x)$

$\frac{dy}{dx} = -4x(x^2-1)^{-2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x}{(x^2-1)^2}$

(2) $y = \frac{5x}{2x-3}$ の場合:

商の微分公式 $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = 5x$, $v = 2x-3$ とすると、$u' = 5$, $v' = 2$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{5(2x-3) - 5x(2)}{(2x-3)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{10x - 15 - 10x}{(2x-3)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-15}{(2x-3)^2}$

(3) $y = \frac{2x+1}{3x+1}$ の場合:

商の微分公式 $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = 2x+1$, $v = 3x+1$ とすると、$u' = 2$, $v' = 3$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(3x+1) - (2x+1)(3)}{(3x+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6x + 2 - (6x+3)}{(3x+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6x + 2 - 6x - 3}{(3x+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(3x+1)^2}$

(4) $y = \frac{x-1}{x^2+1}$ の場合:

商の微分公式 $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x-1$, $v = x^2+1$ とすると、$u' = 1$, $v' = 2x$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1(x^2+1) - (x-1)(2x)}{(x^2+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+1 - (2x^2-2x)}{(x^2+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+1 - 2x^2 + 2x}{(x^2+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{-4x}{(x^2-1)^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-15}{(2x-3)^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(3x+1)^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2}$