与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{x+x^2} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{x+x^2}

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2. 解き方の手順

この極限は、$\frac{0}{0}$の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。もしくは、$\log(1+y)$ の $y \to 0$ での近似 $\log(1+y) \approx y$ を利用することもできます。ここでは、後者の方法を使います。

$x \to 0$のとき、$x+x^2 \to 0$ なので、$\log(1+x+x^2) \approx x+x^2$ となります。

したがって、

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\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{x+x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x+x^2}{x+x^2} = \lim_{x \to 0} 1 = 1

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別解として、ロピタルの定理を用いることもできます。

関数 $f(x) = \log(1+x+x^2)$ と $g(x) = x+x^2$ を考えます。

$x \to 0$ のとき $f(x) \to \log(1+0+0) = \log(1) = 0$ および $g(x) \to 0+0^2 = 0$ となるため、$\frac{0}{0}$ の不定形です。

$f'(x) = \frac{1+2x}{1+x+x^2}$ および $g'(x) = 1+2x$ であるから、

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\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1+2x}{1+x+x^2}}{1+2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1+2x}{(1+x+x^2)(1+2x)}

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ここで、$x \ne -\frac{1}{2}$ である限り $\frac{1+2x}{1+2x}=1$ なので、

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\lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x+x^2} = \frac{1}{1+0+0^2} = 1

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したがって、

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\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{x+x^2} = 1

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3. 最終的な答え

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