関数 $y = 2\sin\theta + \cos\theta$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin\theta + \cos\theta$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を利用します。

$y = 2\sin\theta + \cos\theta$ を $y = r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。

$r = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$

したがって、

$y = \sqrt{5} \left( \frac{2}{\sqrt{5}}\sin\theta + \frac{1}{\sqrt{5}}\cos\theta \right)$

ここで、$\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ となる $\alpha$ を考えると、

$y = \sqrt{5} \sin(\theta + \alpha)$

$\sin(\theta + \alpha)$ の最大値は1、最小値は-1なので、

$y$ の最大値は $\sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{5}$

$y$ の最小値は $\sqrt{5} \cdot (-1) = -\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

最大値：$\sqrt{5}$

最小値：$-\sqrt{5}$