関数 $f(x) = \log(x + \sqrt{1+x^2})$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(x + \sqrt{1+x^2})$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を使用します。$\log(u)$ の微分は $\frac{1}{u}$ であり、$\sqrt{u}$ の微分は $\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$ であることを利用します。

Step 1: $\log$ の微分

$f(x) = \log(x + \sqrt{1+x^2})$ の微分を計算します。

まず、$\log$ の部分を微分します。

$\frac{d}{dx} \log(x + \sqrt{1+x^2}) = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x + \sqrt{1+x^2})$

Step 2: 根号を含む項の微分

次に、$\frac{d}{dx}(x + \sqrt{1+x^2})$ を計算します。

$\frac{d}{dx}(x + \sqrt{1+x^2}) = 1 + \frac{d}{dx}\sqrt{1+x^2}$

$\sqrt{1+x^2}$ の微分は、合成関数の微分公式により、

$\frac{d}{dx}\sqrt{1+x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(1+x^2) = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

したがって、

$\frac{d}{dx}(x + \sqrt{1+x^2}) = 1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}$

Step 3: 全体の微分

上記のStep1とStep2の結果を組み合わせます。

$\frac{d}{dx} \log(x + \sqrt{1+x^2}) = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{x + \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$