次の三重積分を計算します。 $\iiint_V (x+z+1) dxdydz$ ここで、$V$は$x^2 + y^2 + z^2 \le a^2$ かつ $x \ge 0$ で定義される領域です。

1. 問題の内容

次の三重積分を計算します。

$\iiint_V (x+z+1) dxdydz$

ここで、$V$は$x^2 + y^2 + z^2 \le a^2$ かつ $x \ge 0$ で定義される領域です。

2. 解き方の手順

まず、積分を3つの部分に分けます。

$\iiint_V x dxdydz + \iiint_V z dxdydz + \iiint_V 1 dxdydz$

第一項：$\iiint_V x dxdydz$

$V$は$x \ge 0$を満たす半球なので、$x$に関して対称ではありません。

そこで、積分範囲を考慮して積分を計算します。

球座標変換を行います。

$x = r\sin\theta\cos\phi, y = r\sin\theta\sin\phi, z = r\cos\theta$

$0 \le r \le a, 0 \le \theta \le \pi, -\pi/2 \le \phi \le \pi/2$

ヤコビアンは$r^2\sin\theta$です。

$\iiint_V x dxdydz = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{\pi} \int_0^a (r\sin\theta\cos\phi) r^2\sin\theta drd\theta d\phi$

$= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\phi d\phi \int_0^{\pi} \sin^2\theta d\theta \int_0^a r^3 dr$

$= [\sin\phi]_{-\pi/2}^{\pi/2} \cdot \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta \cdot [\frac{r^4}{4}]_0^a$

$= (1 - (-1)) \cdot [\frac{\theta}{2} - \frac{\sin(2\theta)}{4}]_0^{\pi} \cdot \frac{a^4}{4}$

$= 2 \cdot (\frac{\pi}{2}) \cdot \frac{a^4}{4} = \frac{\pi a^4}{4}$

第二項：$\iiint_V z dxdydz$

$V$は$z$に関して対称なので、$\iiint_V z dxdydz = 0$

第三項：$\iiint_V 1 dxdydz$

これは領域$V$の体積に等しいです。$V$は半径$a$の半球なので、

$\iiint_V 1 dxdydz = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 = \frac{2}{3}\pi a^3$

よって、

$\iiint_V (x+z+1) dxdydz = \frac{\pi a^4}{4} + 0 + \frac{2}{3}\pi a^3 = \pi a^3 (\frac{a}{4} + \frac{2}{3}) = \frac{\pi a^3}{12}(3a+8)$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi a^3 (3a+8)}{12}$