数列の和 $S_n = 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 4 \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + n \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$ を $n$ の式で表す問題です。

1. 問題の内容

数列の和 $S_n = 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 4 \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + n \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$ を $n$ の式で表す問題です。

2. 解き方の手順

$S_n$ は、各項が $k (\frac{1}{3})^{k-1}$ の形である数列の和です。このような数列の和を求めるには、公比 $\frac{1}{3}$ を掛けてから元の式から引くという手法が有効です。

まず、$S_n$ を書き下します。

$S_n = 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 4 \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + n \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$

次に、$S_n$ に $\frac{1}{3}$ を掛けた $\frac{1}{3}S_n$ を書き下します。

$\frac{1}{3}S_n = \frac{1}{3} + 2 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 3 \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + (n-1) \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} + n \cdot (\frac{1}{3})^n$

$S_n$ から $\frac{1}{3}S_n$ を引きます。

$S_n - \frac{1}{3}S_n = (1 + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 4 \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + n \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}) - (\frac{1}{3} + 2 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 3 \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + (n-1) \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} + n \cdot (\frac{1}{3})^n)$

$\frac{2}{3}S_n = 1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \dots + (\frac{1}{3})^{n-1} - n \cdot (\frac{1}{3})^n$

右辺の $1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \dots + (\frac{1}{3})^{n-1}$ は初項 $1$, 公比 $\frac{1}{3}$, 項数 $n$ の等比数列の和なので、

$1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \dots + (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n)$

したがって、

$\frac{2}{3}S_n = \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n) - n \cdot (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n) - \frac{3}{2} n \cdot (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{9}{4} (\frac{1}{3})^n - \frac{3}{2} n (\frac{1}{3})^n = \frac{9}{4} - (\frac{9}{4} + \frac{6n}{4}) (\frac{1}{3})^n = \frac{9}{4} - \frac{9+6n}{4} (\frac{1}{3})^n = \frac{9}{4} - \frac{3(3+2n)}{4} (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{3+2n}{4 \cdot 3^{n-1}}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{3+2n}{4 \cdot 3^{n-1}}$

または、$S_n = \frac{9 \cdot 3^{n-1} - 3 - 2n}{4 \cdot 3^{n-1}}$