与えられた関数について、その増減を調べる問題です。今回は、問題の中から(1) $f(x) = -x^4 + 6x^2 + 8x - 10$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数について、その増減を調べる問題です。今回は、問題の中から(1) $f(x) = -x^4 + 6x^2 + 8x - 10$ を解きます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ の増減を調べるには、まず導関数 $f'(x)$ を求め、その符号を調べます。

(1) 導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = -x^4 + 6x^2 + 8x - 10$

$f'(x) = -4x^3 + 12x + 8$

$f'(x) = -4(x^3 - 3x - 2)$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^3 - 3x - 2 = 0$

$(x+1)$ を因数に持つことが予想されるので、因数分解を試みます。

$(x+1)(x^2 - x - 2) = 0$

$(x+1)(x+1)(x-2) = 0$

$(x+1)^2(x-2) = 0$

したがって、$x = -1, 2$

(3) $f'(x)$ の符号を調べます。

$f'(x) = -4(x+1)^2(x-2)$

- $x < -1$ のとき、$(x+1)^2 > 0$, $(x-2) < 0$ なので、$f'(x) > 0$ (増加)

- $-1 < x < 2$ のとき、$(x+1)^2 > 0$, $(x-2) < 0$ なので、$f'(x) > 0$ (増加)

- $x > 2$ のとき、$(x+1)^2 > 0$, $(x-2) > 0$ なので、$f'(x) < 0$ (減少)

- $x = -1$ のとき、 $f'(-1) = 0$

- $x = 2$ のとき、 $f'(2) = 0$

増減表を書くと以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 2 | ... |

| :---- | :---- | :---- | :---- | :--- | :---- |

| f'(x) | + | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 増加 | | 増加 | | 減少 |

3. 最終的な答え

- $x < 2$ のとき増加

- $x > 2$ のとき減少

- $x = 2$ のとき極大値をとる

f(2) = -16 + 24 + 16 - 10 = 14 なので、極大値は14です。