定積分 $\int_{-e}^{e} xe^{x^2} dx$ を計算します。

解析学定積分置換積分積分計算

2025/5/9

1. 問題の内容

定積分

\int_{-e}^{e} xe^{x^2} dx

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分

\int xe^{x^2} dx

を計算します。

置換積分を用いて計算します。

u = x^2

と置くと、

du = 2x dx

となります。したがって、

x dx = \frac{1}{2} du

です。

よって、

\int xe^{x^2} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C

となります。

次に、定積分を計算します。

\int_{-e}^{e} xe^{x^2} dx = \left[ \frac{1}{2} e^{x^2} \right]_{-e}^{e} = \frac{1}{2} e^{e^2} - \frac{1}{2} e^{(-e)^2} = \frac{1}{2} e^{e^2} - \frac{1}{2} e^{e^2} = 0

3. 最終的な答え

\int_{-e}^{e} xe^{x^2} dx = 0

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