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定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \sin^3 x \, dx$ を計算します。

解析学定積分三角関数奇関数積分
2025/5/9

1. 問題の内容

定積分 ∫−ππcos⁡xsin⁡3x dx\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \sin^3 x \, dx を計算します。

2. 解き方の手順

被積分関数 f(x)=cos⁡xsin⁡3xf(x) = \cos x \sin^3 x について、偶関数か奇関数かを調べます。
f(−x)=cos⁡(−x)sin⁡3(−x)=cos⁡x(−sin⁡x)3=cos⁡x(−sin⁡3x)=−cos⁡xsin⁡3x=−f(x)f(-x) = \cos(-x) \sin^3(-x) = \cos x (-\sin x)^3 = \cos x (-\sin^3 x) = -\cos x \sin^3 x = -f(x)
したがって、f(x)f(x) は奇関数です。
奇関数の積分区間が対称（−π-\pi から π\pi）なので、積分の値は0になります。
∫−aaf(x) dx=0\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 (ただし、f(x)f(x) は奇関数)

3. 最終的な答え

∫−ππcos⁡xsin⁡3x dx=0\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \sin^3 x \, dx = 0

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