問題は、定積分 $I = \int_{0}^{\pi} e^x \sin x dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、定積分 $I = \int_{0}^{\pi} e^x \sin x dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解きます。

まず、$u = \sin x$、$dv = e^x dx$ とおくと、$du = \cos x dx$、$v = e^x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$

次に、$\int e^x \cos x dx$ を計算します。$u = \cos x$、$dv = e^x dx$ とおくと、$du = -\sin x dx$、$v = e^x$ となります。

再び部分積分の公式より、

$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$

したがって、

$\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - (e^x \cos x + \int e^x \sin x dx) = e^x \sin x - e^x \cos x - \int e^x \sin x dx$

これを変形すると、

$2 \int e^x \sin x dx = e^x \sin x - e^x \cos x$

$\int e^x \sin x dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x)$

次に、定積分を計算します。

$I = \int_{0}^{\pi} e^x \sin x dx = \frac{1}{2} [e^x (\sin x - \cos x)]_{0}^{\pi}$

$I = \frac{1}{2} [e^{\pi} (\sin \pi - \cos \pi) - e^{0} (\sin 0 - \cos 0)]$

$I = \frac{1}{2} [e^{\pi} (0 - (-1)) - 1 (0 - 1)]$

$I = \frac{1}{2} [e^{\pi} (1) - (-1)]$

$I = \frac{1}{2} (e^{\pi} + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{e^{\pi} + 1}{2}$