$\int_{1}^{e} \log x dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{e} \log x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。

$\log x$ の積分なので、$u = \log x$ とし、$dv = dx$ とします。

すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となり、$v = x$ となります。

部分積分の公式は次の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

これを用いると、

$\int_{1}^{e} \log x dx = [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} dx$

$= [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 dx$

$= [x \log x]_{1}^{e} - [x]_{1}^{e}$

$= (e \log e - 1 \log 1) - (e - 1)$

$= (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - (e - 1)$

$= e - e + 1$

$= 1$

3. 最終的な答え

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