(3) 曲線 $y = x^3 + 2x^2$ と $x$ 軸によって囲まれた部分の面積を求める。 (4) 和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2 - 1}$ を $n$ を用いて表す。 (5) $OA = 2$, $OB = 3$, $\angle AOB = 60^\circ$ である三角形 $OAB$ において、辺 $AB$ を $1:3$ に内分する点を $C$ とする。 (i) $\overrightarrow{OC}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す。 (ii) $|\overrightarrow{OC}|$ を求める。

1. 問題の内容

(3) 曲線 $y = x^3 + 2x^2$ と $x$ 軸によって囲まれた部分の面積を求める。

(4) 和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2 - 1}$ を $n$ を用いて表す。

(5) $OA = 2$, $OB = 3$, $\angle AOB = 60^\circ$ である三角形 $OAB$ において、辺 $AB$ を $1:3$ に内分する点を $C$ とする。

(i) $\overrightarrow{OC}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す。

(ii) $|\overrightarrow{OC}|$ を求める。

2. 解き方の手順

(3)

まず、$y = x^3 + 2x^2$ と $x$ 軸の交点を求める。

$x^3 + 2x^2 = 0$ を解くと、 $x^2(x+2) = 0$ より $x = 0, -2$ である。

よって、求める面積は $\int_{-2}^{0} |x^3 + 2x^2| dx = \int_{-2}^{0} -(x^3 + 2x^2) dx$ である。

$\int_{-2}^{0} -(x^3 + 2x^2) dx = -\left[\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3}\right]_{-2}^{0} = -\left[0 - \left(\frac{16}{4} + \frac{2(-8)}{3}\right)\right] = -\left[-4 + \frac{16}{3}\right] = -\left[-\frac{12}{3} + \frac{16}{3}\right] = -\frac{4}{3} = \frac{4}{3}$.

面積なので正の値を取る。

(4)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2 - 1} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$ と部分分数分解する。

$1 = A(2k+1) + B(2k-1)$.

$k = \frac{1}{2}$ を代入すると $1 = 2A$, よって $A = \frac{1}{2}$.

$k = -\frac{1}{2}$ を代入すると $1 = -2B$, よって $B = -\frac{1}{2}$.

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2 - 1} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

$=\frac{1}{2} \left[\left(1-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)\right]$

$=\frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{2n+1-1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}$.

(5)

(i) $\overrightarrow{OC} = \frac{3 \overrightarrow{OA} + 1 \overrightarrow{OB}}{1+3} = \frac{3}{4} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{OB}$.

(ii) $|\overrightarrow{OC}|^2 = \left|\frac{3}{4} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{OB}\right|^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 |\overrightarrow{OA}|^2 + 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 |\overrightarrow{OB}|^2$

$= \frac{9}{16} (2^2) + \frac{6}{16} (2)(3) \cos 60^\circ + \frac{1}{16} (3^2) = \frac{9}{16}(4) + \frac{6}{16}(6)\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{16}(9) = \frac{36}{16} + \frac{18}{16} + \frac{9}{16} = \frac{63}{16}$.

$|\overrightarrow{OC}| = \sqrt{\frac{63}{16}} = \frac{\sqrt{63}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$.

3. 最終的な答え

(3) $\frac{4}{3}$

(4) $\frac{n}{2n+1}$

(5)

(i) $\overrightarrow{OC} = \frac{3}{4} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{OB}$

(ii) $|\overrightarrow{OC}| = \frac{3\sqrt{7}}{4}$