関数 $g(x) = |x(x+1)|$ が与えられている。点P(-1, 0)を通り、傾きが $c$ の直線 $l$ について、以下の問いに答える。 * $g'(-1)$ の値を求める。 * $0 < c < g'(-1)$ のとき、曲線 $y=g(x)$ と直線 $l$ は3点で交わる。点P以外の2点を、Pに近い順にQ, Rとするとき、点Qと点Rの $x$ 座標を求める。 * $0 < c < g'(-1)$ のとき、線分PQと曲線 $y=g(x)$ で囲まれた図形の面積を $S$ とし、線分QRと曲線 $y=g(x)$ で囲まれた図形の面積を $T$ とするとき、$S$ と $T$ を $c$ の式で表す。

1. 問題の内容

関数 $g(x) = |x(x+1)|$ が与えられている。点P(-1, 0)を通り、傾きが $c$ の直線 $l$ について、以下の問いに答える。

* $g'(-1)$ の値を求める。

* $0 < c < g'(-1)$ のとき、曲線 $y=g(x)$ と直線 $l$ は3点で交わる。点P以外の2点を、Pに近い順にQ, Rとするとき、点Qと点Rの $x$ 座標を求める。

* $0 < c < g'(-1)$ のとき、線分PQと曲線 $y=g(x)$ で囲まれた図形の面積を $S$ とし、線分QRと曲線 $y=g(x)$ で囲まれた図形の面積を $T$ とするとき、$S$ と $T$ を $c$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$g(x) = |x(x+1)|$ について、$g'(x)$ を求める必要がある。

$x(x+1) = x^2 + x$ である。

* $x < -1$ または $x > 0$ のとき、$g(x) = x^2 + x$ なので、$g'(x) = 2x + 1$

* $-1 < x < 0$ のとき、$g(x) = -x^2 - x$ なので、$g'(x) = -2x - 1$

よって、$g'(-1)$ は存在しない。

しかし、$-1 < x < 0$における$g'(x)$を求める必要がある。

$x$が$-1$に近い時、$g'(x) = -2x - 1$

$g'(-1) = -2(-1) - 1 = 2 - 1 = 1$

したがって、アは1である。

次に、$0 < c < 1$ のとき、直線 $l$ の方程式は、$y = c(x + 1)$ となる。

曲線 $y = g(x)$ と直線 $l$ の交点を求める。

$-1 < x < 0$ のとき、$g(x) = -x(x+1)$ なので、$-x(x+1) = c(x+1)$ を解く。

$(x+1)(-x - c) = 0$

$x = -1$ または $x = -c$

したがって、Qの $x$ 座標は $-c$ である。

$x > 0$ のとき、$g(x) = x(x+1)$ なので、$x(x+1) = c(x+1)$ を解く。

$(x+1)(x - c) = 0$

$x = -1$ または $x = c$

したがって、Rの $x$ 座標は $c$ である。

次に、面積 $S$ と $T$ を求める。

$S = \int_{-c}^{-1} |x(x+1) - c(x+1)| dx = \int_{-c}^{-1} c(x+1) - (-x(x+1)) dx = \int_{-c}^{-1} (x+1)(x+c)dx = \int_{-c}^{-1} x^2 + (c+1)x + c dx = [\frac{x^3}{3} + \frac{(c+1)x^2}{2} + cx]_{-c}^{-1} = (-\frac{1}{3} + \frac{c+1}{2} - c) - (-\frac{c^3}{3} + \frac{(c+1)c^2}{2} - c^2) = \frac{c^3}{3} - \frac{c^3}{2} + c^2 - c^2 + \frac{c}{2} - c - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{c^3}{6} - \frac{c}{2} + \frac{1}{6} = \frac{-c^3 - 3c + 1}{6} = \frac{-c^3-3c+1}{6} = \frac{-1c^3+0c^2-3c+1}{6}$

$T = \int_{0}^{c} |x(x+1) - c(x+1)| dx = \int_{0}^{c} c(x+1) - x(x+1) dx = \int_{0}^{c} (c-x)(x+1)dx = \int_{0}^{c} cx+c-x^2-x dx = \int_{0}^{c} -x^2 + (c-1)x +c dx = [-\frac{x^3}{3} + \frac{(c-1)x^2}{2} + cx]_{0}^{c} = -\frac{c^3}{3} + \frac{(c-1)c^2}{2} + c^2 = -\frac{c^3}{3} + \frac{c^3}{2} - \frac{c^2}{2} + c^2 = \frac{c^3}{6} + \frac{c^2}{2} = \frac{c^3 + 3c^2}{6}$

最終的な答えは以下の通りである。

3. 最終的な答え

ア: 1

イウ: -c

エ: c

オ: -1

カ: 0

キ: 3

ク: 6

ケ: 3