問題は、 $x$ が無限大に近づくときの関数 $\frac{a^x}{a^x + a^{-x}}$ の極限を求める問題です。ただし、$a > 0$ です。

1. 問題の内容

問題は、 $x$ が無限大に近づくときの関数 $\frac{a^x}{a^x + a^{-x}}$ の極限を求める問題です。ただし、$a > 0$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を以下のように変形します。

$\frac{a^x}{a^x + a^{-x}}$

次に、分子と分母を $a^x$ で割ります。

$\frac{a^x}{a^x + a^{-x}} = \frac{a^x / a^x}{(a^x + a^{-x}) / a^x} = \frac{1}{1 + a^{-x} / a^x} = \frac{1}{1 + a^{-2x}}$

ここで、$x \to \infty$ のとき、$a^{-2x}$ の極限を考えます。

$a>1$の場合、$-2x \to -\infty$ となるので、$a^{-2x} \to 0$となります。

$0<a<1$の場合、$-2x \to -\infty$ となるので、$a^{-2x} \to \infty$となります。

$a=1$の場合、$a^{-2x} = 1$となります。

したがって、$a>1$のとき、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + a^{-2x}} = \frac{1}{1 + 0} = 1$

$0<a<1$のとき、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + a^{-2x}} = \frac{1}{1 + \infty} = 0$

$a=1$のとき、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + a^{-2x}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a>1$のとき、1

$0<a<1$のとき、0

$a=1$のとき、1/2