与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{4x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{4x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 1 - x^2$ と置くと、

$du = -2x dx$ となります。

したがって、$4x dx = -2 du$ となります。

積分の範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$u = 1 - 0^2 = 1$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$u = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

よって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{4x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{-2}{\sqrt{u}} du = -2 \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{-\frac{1}{2}} du$

積分範囲を反転させると、符号が変わります。

$= 2 \int_{\frac{3}{4}}^{1} u^{-\frac{1}{2}} du$

$u^{-\frac{1}{2}}$ の積分は $2u^{\frac{1}{2}}$ です。

したがって、

$2 \int_{\frac{3}{4}}^{1} u^{-\frac{1}{2}} du = 2 [2u^{\frac{1}{2}}]_{\frac{3}{4}}^{1} = 4 [\sqrt{u}]_{\frac{3}{4}}^{1}$

$= 4 (\sqrt{1} - \sqrt{\frac{3}{4}}) = 4 (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 4 - 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$4 - 2\sqrt{3}$