与えられた関数を微分する問題です。全部で8つの関数があります。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。全部で8つの関数があります。

2. 解き方の手順

(1) $y = (x + 3)(2x - 3)$

積の微分公式を使います。$y = uv$のとき、$y' = u'v + uv'$です。

$u = x + 3$, $v = 2x - 3$ とすると、$u' = 1$, $v' = 2$。

よって、$y' = 1 \cdot (2x - 3) + (x + 3) \cdot 2 = 2x - 3 + 2x + 6 = 4x + 3$.

(2) $y = (2x - 1)(x^2 + 3x - 1)$

積の微分公式を使います。$u = 2x - 1$, $v = x^2 + 3x - 1$とすると、$u' = 2$, $v' = 2x + 3$。

よって、$y' = 2 \cdot (x^2 + 3x - 1) + (2x - 1) \cdot (2x + 3) = 2x^2 + 6x - 2 + 4x^2 + 6x - 2x - 3 = 6x^2 + 10x - 5$.

(3) $s = (t^2 + 2)(t^3 + 1)$

積の微分公式を使います。$u = t^2 + 2$, $v = t^3 + 1$とすると、$u' = 2t$, $v' = 3t^2$。

よって、$s' = 2t \cdot (t^3 + 1) + (t^2 + 2) \cdot 3t^2 = 2t^4 + 2t + 3t^4 + 6t^2 = 5t^4 + 6t^2 + 2t$.

(4) $y = \frac{3x}{x - 2}$

商の微分公式を使います。$y = \frac{u}{v}$のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$です。

$u = 3x$, $v = x - 2$とすると、$u' = 3$, $v' = 1$。

よって、$y' = \frac{3 \cdot (x - 2) - 3x \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{3x - 6 - 3x}{(x - 2)^2} = \frac{-6}{(x - 2)^2}$.

(5) $s = \frac{1}{t + 2}$

商の微分公式を使います。$u = 1$, $v = t + 2$とすると、$u' = 0$, $v' = 1$。

よって、$s' = \frac{0 \cdot (t + 2) - 1 \cdot 1}{(t + 2)^2} = \frac{-1}{(t + 2)^2}$.

または、$s = (t+2)^{-1}$とみて合成関数の微分で、$s' = -1 (t+2)^{-2} \cdot 1 = \frac{-1}{(t+2)^2}$。

(6) $y = x^3 + \frac{2}{x - 1}$

$y = x^3 + 2(x-1)^{-1}$なので、$y' = 3x^2 + 2(-1)(x-1)^{-2}(1) = 3x^2 - \frac{2}{(x-1)^2}$.

(7) $y = \frac{2x - 3}{x + 1}$

商の微分公式を使います。$u = 2x - 3$, $v = x + 1$とすると、$u' = 2$, $v' = 1$。

よって、$y' = \frac{2 \cdot (x + 1) - (2x - 3) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 3}{(x + 1)^2} = \frac{5}{(x + 1)^2}$.

(8) $y = \frac{x^2}{x - 1}$

商の微分公式を使います。$u = x^2$, $v = x - 1$とすると、$u' = 2x$, $v' = 1$。

よって、$y' = \frac{2x \cdot (x - 1) - x^2 \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$.

3. 最終的な答え

(1) $y' = 4x + 3$

(2) $y' = 6x^2 + 10x - 5$

(3) $s' = 5t^4 + 6t^2 + 2t$

(4) $y' = \frac{-6}{(x - 2)^2}$

(5) $s' = \frac{-1}{(t + 2)^2}$

(6) $y' = 3x^2 - \frac{2}{(x-1)^2}$

(7) $y' = \frac{5}{(x + 1)^2}$

(8) $y' = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$