定積分 $\int_{1}^{2} x(x-2)^4 dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} x(x-2)^4 dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = x - 2$ と置換します。すると、$x = t + 2$ となり、$dx = dt$ です。また、積分範囲も変わります。$x=1$ のとき $t = 1-2 = -1$、$x=2$ のとき $t=2-2=0$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-1}^{0} (t+2)t^4 dt = \int_{-1}^{0} (t^5 + 2t^4) dt$

次に、積分を実行します。

$\int_{-1}^{0} (t^5 + 2t^4) dt = \left[ \frac{t^6}{6} + \frac{2t^5}{5} \right]_{-1}^{0}$

$= \left( \frac{0^6}{6} + \frac{2 \cdot 0^5}{5} \right) - \left( \frac{(-1)^6}{6} + \frac{2(-1)^5}{5} \right)$

$= 0 - \left( \frac{1}{6} - \frac{2}{5} \right)$

$= - \frac{1}{6} + \frac{2}{5}$

$= \frac{-5 + 12}{30}$

$= \frac{7}{30}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{30}$