与えられた積分 $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\sin^2 x}$ は $\csc^2 x$ と書けるので、積分は $\int \csc^2 x \, dx$ となります。

$\cot x$ を微分すると、

$$(\cot x)' = (\frac{\cos x}{\sin x})' = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$$

となるので、$\csc^2 x$ の積分は $-\cot x$ です。したがって、

$$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$$

となります（$C$ は積分定数）。

3. 最終的な答え

$$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = - \cot x + C$$