次の関数を微分してください。ただし、$x > 0$ とします。 (1) $y = (x - 1)\sqrt{x}$ (2) $y = \frac{\sqrt{x}}{x + 2}$

1. 問題の内容

次の関数を微分してください。ただし、$x > 0$ とします。

(1) $y = (x - 1)\sqrt{x}$

(2) $y = \frac{\sqrt{x}}{x + 2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x - 1)\sqrt{x}$

まず、$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

$y = (x - 1)x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$

$y$を微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}}$

(2) $y = \frac{\sqrt{x}}{x + 2}$

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x + 2}$

商の微分公式 $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = x^{\frac{1}{2}}$ と $v = x + 2$ とします。

$u' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x + 2) - \sqrt{x}(1)}{(x + 2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x + 2}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x + 2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x + 2 - 2x}{2\sqrt{x}(x + 2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 - x}{2\sqrt{x}(x + 2)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{2 - x}{2\sqrt{x}(x + 2)^2}$