$a > 0$ のとき、関数 $f(a) = a - 2 + \frac{2}{a+1}$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、関数 $f(a) = a - 2 + \frac{2}{a+1}$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a+1$ という形を作るために、関数を変形します。

$f(a) = a - 2 + \frac{2}{a+1} = (a+1) - 3 + \frac{2}{a+1}$

ここで、$a > 0$ なので、$a+1 > 1$ です。相加相乗平均の不等式を利用することを考えます。

$x=a+1$ とおくと、$x>1$ であり、$f(x) = x + \frac{2}{x} - 3$ です。

相加相乗平均の不等式は、$x > 0$ および $y > 0$ に対して、$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$ が成り立つというものです。等号成立は $x=y$ のときです。

$x + \frac{2}{x}$ に対して相加相乗平均の不等式を適用すると、

$\frac{x + \frac{2}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{2}{x}} = \sqrt{2}$

よって、

$x + \frac{2}{x} \geq 2\sqrt{2}$

したがって、

$f(x) = x + \frac{2}{x} - 3 \geq 2\sqrt{2} - 3$

等号が成立するのは、$x = \frac{2}{x}$ のときです。

$x^2 = 2$ より、$x = \sqrt{2}$ （$x > 0$ より）。

$x = a+1 = \sqrt{2}$ より、$a = \sqrt{2}-1 > 0$ なので、この $a$ は条件を満たします。

したがって、最小値は $2\sqrt{2} - 3$ です。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} - 3$