$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \, dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \, dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta$

次に、積分を計算します。

$\int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)x^2 + \alpha \beta x \right]_{\alpha}^{\beta}$

積分範囲の端点を代入して計算します。

$= \left( \frac{1}{3}\beta^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)\beta^2 + \alpha \beta^2 \right) - \left( \frac{1}{3}\alpha^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)\alpha^2 + \alpha^2 \beta \right)$

$= \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}(\alpha \beta^2 + \beta^3 - \alpha^3 - \alpha^2 \beta) + \alpha \beta^2 - \alpha^2 \beta$

$= \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2} \beta^3 + \frac{1}{2}\alpha^3 + \frac{1}{2}\alpha \beta^2 - \frac{1}{2}\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 - \alpha^2 \beta$

$= \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}(\beta^3 - \alpha^3) + \frac{3}{2} \alpha \beta^2 - \frac{3}{2} \alpha^2 \beta$

$= -\frac{1}{6}(\beta^3 - \alpha^3) + \frac{3}{2} \alpha \beta (\beta - \alpha)$

$= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)(\beta^2 + \beta \alpha + \alpha^2) + \frac{3}{2}\alpha \beta (\beta - \alpha)$

$= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)(\beta^2 + \beta \alpha + \alpha^2 - 9\alpha \beta)$

$= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)(\beta^2 - 8 \beta \alpha + \alpha^2)$

$= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)(\beta^2 - 2\beta \alpha + \alpha^2 - 6\beta \alpha)$

$= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)((\beta - \alpha)^2 - 6\beta \alpha)$

$= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$.

したがって、

$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \, dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \, dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$