$\pi \le \theta \le 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin\theta + \cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta\cos\theta$ について、 $t = \sin\theta + \cos\theta$ とおくとき、$t$ のとり得る値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$\pi \le \theta \le 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin\theta + \cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta\cos\theta$ について、 $t = \sin\theta + \cos\theta$ とおくとき、$t$ のとり得る値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sin\theta + \cos\theta$ を変形して、$\theta$ を含む式を簡略化します。三角関数の合成を用いると、

$$t = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$$

次に、$\theta$ の範囲が $\pi \le \theta \le 2\pi$ であることから、$\theta + \frac{\pi}{4}$ の範囲を求めます。

$$\pi + \frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4}$$

$$\frac{5\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4}$$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ の取り得る値の範囲を考えます。$\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ は $\frac{5\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4}$ の範囲で、$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ から $1$ を経由して、再び $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ まで変化します。したがって、

$$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$$

最後に、$t = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ であることから、$t$ の取り得る値の範囲を求めます。

$$-\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$$

$$-1 \le t \le \sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$-1 \le t \le \sqrt{2}$