(1) 関数 $f(x) = \frac{\sqrt{ax - 4} - 9}{x - 5}$ が $x \to 5$ のとき収束するように、$a$ の値を定め、そのときの極限値を求めます。 (2) $\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x + 1} - b}{x - 1} = 1$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{\sqrt{ax - 4} - 9}{x - 5}$ が $x \to 5$ のとき収束するように、$a$ の値を定め、そのときの極限値を求めます。

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x + 1} - b}{x - 1} = 1$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $f(x) = \frac{\sqrt{ax - 4} - 9}{x - 5}$ が $x \to 5$ で収束するためには、$x = 5$ で分子が 0 になる必要があります。

$\sqrt{5a - 4} - 9 = 0$

$\sqrt{5a - 4} = 9$

$5a - 4 = 81$

$5a = 85$

$a = 17$

次に、極限値を求めます。

$f(x) = \frac{\sqrt{17x - 4} - 9}{x - 5}$

分子を有理化します。

$f(x) = \frac{(\sqrt{17x - 4} - 9)(\sqrt{17x - 4} + 9)}{(x - 5)(\sqrt{17x - 4} + 9)}$

$f(x) = \frac{(17x - 4) - 81}{(x - 5)(\sqrt{17x - 4} + 9)}$

$f(x) = \frac{17x - 85}{(x - 5)(\sqrt{17x - 4} + 9)}$

$f(x) = \frac{17(x - 5)}{(x - 5)(\sqrt{17x - 4} + 9)}$

$f(x) = \frac{17}{\sqrt{17x - 4} + 9}$

$\lim_{x \to 5} f(x) = \lim_{x \to 5} \frac{17}{\sqrt{17x - 4} + 9} = \frac{17}{\sqrt{17(5) - 4} + 9} = \frac{17}{\sqrt{81} + 9} = \frac{17}{9 + 9} = \frac{17}{18}$

(2)

$\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x + 1} - b}{x - 1} = 1$

$x = 1$ で分母が 0 になるので、分子も 0 になる必要があります。

$a\sqrt{1 + 1} - b = 0$

$a\sqrt{2} - b = 0$

$b = a\sqrt{2}$

$\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x + 1} - a\sqrt{2}}{x - 1} = 1$

$\lim_{x \to 1} \frac{a(\sqrt{x + 1} - \sqrt{2})}{x - 1} = 1$

$\lim_{x \to 1} \frac{a(\sqrt{x + 1} - \sqrt{2})(\sqrt{x + 1} + \sqrt{2})}{(x - 1)(\sqrt{x + 1} + \sqrt{2})} = 1$

$\lim_{x \to 1} \frac{a((x + 1) - 2)}{(x - 1)(\sqrt{x + 1} + \sqrt{2})} = 1$

$\lim_{x \to 1} \frac{a(x - 1)}{(x - 1)(\sqrt{x + 1} + \sqrt{2})} = 1$

$\lim_{x \to 1} \frac{a}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{2}} = 1$

$\frac{a}{\sqrt{1 + 1} + \sqrt{2}} = 1$

$\frac{a}{2\sqrt{2}} = 1$

$a = 2\sqrt{2}$

$b = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4$

3. 最終的な答え

(1) $a = 17$, $\lim_{x \to 5} f(x) = \frac{17}{18}$

(2) $a = 2\sqrt{2}$, $b = 4$