(1) $0 < x < 1$ のとき、$\sqrt{1-x^n}, \sqrt{1-x^2}, 1$ の大小関係を求める問題。選択肢の中から正しいものを選ぶ。 (2) $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx = \frac{\pi}{4}$ が与えられている。$\int_0^1 dx$ の値を求め、$\int_0^1 \sqrt{1-x^n} dx$ の範囲を求める問題。選択肢の中から正しいものを選ぶ。

1. 問題の内容

(1) $0 < x < 1$ のとき、$\sqrt{1-x^n}, \sqrt{1-x^2}, 1$ の大小関係を求める問題。選択肢の中から正しいものを選ぶ。

(2) $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx = \frac{\pi}{4}$ が与えられている。$\int_0^1 dx$ の値を求め、$\int_0^1 \sqrt{1-x^n} dx$ の範囲を求める問題。選択肢の中から正しいものを選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) $0 < x < 1$ のとき、$x^2 > x^n$ ($n > 2$) が成り立つ。なぜなら、$x^n = x^2 \cdot x^{n-2}$ であり、$0 < x < 1$ より $x^{n-2} < 1$ であるため、$x^n < x^2$ となる。したがって、$-x^n > -x^2$ であり、$1 - x^n > 1 - x^2$ となる。平方根をとると $\sqrt{1 - x^n} > \sqrt{1 - x^2} > 0$ となる。また、$0 < x < 1$ より、$1-x^n < 1$ なので$\sqrt{1-x^n} < 1$が成り立つ。よって、$\sqrt{1-x^2} < \sqrt{1-x^n} < 1$。

(2) $\int_0^1 dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1$。

したがって、3 に当てはまる値は1である。

$n > 2$ より、$x^n < x^2$ なので、$1-x^n > 1-x^2$ となる。

したがって、$\sqrt{1-x^n} > \sqrt{1-x^2}$ となり、$\int_0^1 \sqrt{1-x^n} dx > \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx = \frac{\pi}{4}$。

また、$\sqrt{1-x^n} < 1$ より、$\int_0^1 \sqrt{1-x^n} dx < \int_0^1 1 dx = 1$

よって、$\frac{\pi}{4} < \int_0^1 \sqrt{1-x^n} dx < 1$。

3. 最終的な答え

(1) 答え: 3

(2) 3: 1

4: 1