次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。 (1) $\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - \frac{4}{5} + \dots + \frac{n}{n+1} - \frac{n+1}{n+2} + \dots$ (2) $(\frac{1}{2} - \frac{2}{3}) + (\frac{2}{3} - \frac{3}{4}) + \dots + (\frac{n}{n+1} - \frac{n+1}{n+2}) + \dots$

1. 問題の内容

次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。

(1) $\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - \frac{4}{5} + \dots + \frac{n}{n+1} - \frac{n+1}{n+2} + \dots$

(2) $(\frac{1}{2} - \frac{2}{3}) + (\frac{2}{3} - \frac{3}{4}) + \dots + (\frac{n}{n+1} - \frac{n+1}{n+2}) + \dots$

2. 解き方の手順

(1)

この級数は、隣り合う項が打ち消し合うtelescoping seriesになっている。部分和 $S_n$ は以下のようになる。

$S_n = (\frac{1}{2} - \frac{2}{3}) + (\frac{2}{3} - \frac{3}{4}) + \dots + (\frac{n}{n+1} - \frac{n+1}{n+2}) = \frac{1}{2} - \frac{n+1}{n+2}$

次に、この部分和の極限を計算する。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} - \frac{n+1}{n+2}) = \frac{1}{2} - \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

(2)

この級数の一般項 $a_n$ は $a_n = \frac{n}{n+1} - \frac{n+1}{n+2}$である。

部分和 $S_n$ は以下のようになる。

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (\frac{k}{k+1} - \frac{k+1}{k+2}) = (\frac{1}{2} - \frac{2}{3}) + (\frac{2}{3} - \frac{3}{4}) + \dots + (\frac{n}{n+1} - \frac{n+1}{n+2}) = \frac{1}{2} - \frac{n+1}{n+2}$

これは(1)と同じ形である。

次に、この部分和の極限を計算する。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} - \frac{n+1}{n+2}) = \frac{1}{2} - \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 収束し、和は $-\frac{1}{2}$

(2) 収束し、和は $-\frac{1}{2}$