与えられた逆三角関数、三角関数の値を求めます。問題は以下の5つです。 (1) $\arccos \sqrt{3}$ (2) $\arctan(\tan \sqrt{3})$ (3) $\arccos(2\sin 5 \cos 5)$ (4) $\cos(\arcsin \frac{\pi}{6})$ (5) $\cos(\arcsin x + \arctan t)$ where $-1 \le x \le 1$

1. 問題の内容

与えられた逆三角関数、三角関数の値を求めます。問題は以下の5つです。

(1) $\arccos \sqrt{3}$

(2) $\arctan(\tan \sqrt{3})$

(3) $\arccos(2\sin 5 \cos 5)$

(4) $\cos(\arcsin \frac{\pi}{6})$

(5) $\cos(\arcsin x + \arctan t)$ where $-1 \le x \le 1$

2. 解き方の手順

(1) $\arccos x$ は、$\cos \theta = x$ となる $\theta$ を求める関数です。ここで、$\arccos \sqrt{3}$ を求めることになりますが、$\sqrt{3} > 1$ であり、$\cos \theta$ の値域は $[-1, 1]$ であるため、そのような$\theta$は存在しません。

(2) $\arctan(\tan \sqrt{3})$ を求めます。$\arctan(\tan x) = x$ となるのは、$x$ の値が $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲にある場合です。

$\sqrt{3} \approx 1.732$ であり、$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} \approx 1.57$ なので、$\sqrt{3} > \frac{\pi}{2}$ です。したがって、$\arctan(\tan \sqrt{3}) = \sqrt{3}$ とはなりません。

$\tan(\sqrt{3})$ は $\tan(\sqrt{3} - \pi)$ と同じ値を持ち、$-\frac{\pi}{2} < \sqrt{3} - \pi < \frac{\pi}{2}$ となるので、

$\arctan(\tan \sqrt{3}) = \sqrt{3} - \pi$ となります。

(3) $\arccos(2 \sin 5 \cos 5)$ を求めます。

$2 \sin 5 \cos 5 = \sin(2 \times 5) = \sin 10$

$10 \approx 3\pi + 0.58$ なので、$\sin 10$ は負の値をとります。

$\arccos(\sin 10)$を計算することは難しいですが、$2\sin(5)\cos(5)=\sin(10)$です。ここで $3\pi < 10 < 3\pi + \frac{\pi}{2}$なので、$\sin(10) < 0$となります。

したがって$\arccos(\sin(10))$が存在します。具体的にはarccos(sin10)となります。

(4) $\cos(\arcsin \frac{\pi}{6})$ を求めます。

$\arcsin \frac{\pi}{6} = \theta$ とおくと、$\sin \theta = \frac{\pi}{6}$ となります。

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{\pi}{6})^2$

$\cos \theta = \sqrt{1 - (\frac{\pi}{6})^2} = \sqrt{1 - \frac{\pi^2}{36}} = \frac{\sqrt{36 - \pi^2}}{6}$

(5) $\cos(\arcsin x + \arctan t)$ を求めます。

$\arcsin x = A$, $\arctan t = B$ とすると、$\sin A = x$, $\tan B = t$ です。

$\cos(\arcsin x + \arctan t) = \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - x^2}$

$\sin B = \frac{\tan B}{\sqrt{1 + \tan^2 B}} = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}$

$\cos B = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 B}} = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}$

したがって、

$\cos(A+B) = \sqrt{1 - x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} - x \cdot \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} = \frac{\sqrt{1 - x^2} - xt}{\sqrt{1 + t^2}}$

3. 最終的な答え

(1) 定義されない (存在しない)

(2) $\sqrt{3} - \pi$

(3) $\arccos(\sin 10)$

(4) $\frac{\sqrt{36 - \pi^2}}{6}$

(5) $\frac{\sqrt{1 - x^2} - xt}{\sqrt{1 + t^2}}$