$0 \le \theta \le \pi$ の範囲で定義された $\theta$ の関数 $y = 12\sin^2\theta + 6\cos2\theta\cos\theta + 3\cos\theta - 9$ について、以下の問いに答える。(1) $\cos\theta = x$ とおき、$y$ を $x$ の関数 $f(x)$ で表す。(2) $y > 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。(3) $y$ が最大となる時の $\cos\theta$ の値と、その時の $y$ の最大値を求め、その時の $\theta$ の範囲を選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \pi$ の範囲で定義された $\theta$ の関数 $y = 12\sin^2\theta + 6\cos2\theta\cos\theta + 3\cos\theta - 9$ について、以下の問いに答える。(1) $\cos\theta = x$ とおき、$y$ を $x$ の関数 $f(x)$ で表す。(2) $y > 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。(3) $y$ が最大となる時の $\cos\theta$ の値と、その時の $y$ の最大値を求め、その時の $\theta$ の範囲を選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos\theta = x$ とおく。

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - x^2$

$\cos2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 2x^2 - 1$

$y = 12(1 - x^2) + 6(2x^2 - 1)x + 3x - 9$

$y = 12 - 12x^2 + 12x^3 - 6x + 3x - 9$

$y = 12x^3 - 12x^2 - 3x + 3$

したがって $f(x) = 12x^3 - 12x^2 - 3x + 3$

(2) $y > 0$ より

$12x^3 - 12x^2 - 3x + 3 > 0$

$4x^3 - 4x^2 - x + 1 > 0$

$(x - 1)(4x^2 - 1) > 0$

$(x - 1)(2x - 1)(2x + 1) > 0$

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ または $x > 1$

$x = \cos\theta$ であり、 $0 \le \theta \le \pi$ なので $-1 \le x \le 1$。

したがって $-\frac{1}{2} < \cos\theta \le 1$

$\cos\theta > -\frac{1}{2}$ より $\theta < \frac{2}{3}\pi$ かつ $\theta > \frac{4}{3}\pi$。

$0 \le \theta \le \pi$ より $0 \le \theta < \frac{2}{3}\pi$

$\frac{2}{3}\pi < \theta \le \pi$ は $y>0$を満たさない。よって $0 \le \theta < \frac{2}{3}\pi$

$\cos \theta < \frac{1}{2}$ より $\frac{\pi}{3} < \theta \le \pi$ は $y>0$を満たさない。

$y > 0$ を満たす$\theta$ の範囲は $0 \le \theta < \frac{2}{3}\pi$である。

$x > -\frac{1}{2}$より、$\cos\theta > -\frac{1}{2}$。したがって、$0 \le \theta < \frac{2}{3}\pi$

したがって、$\frac{2}{3}\pi < \theta < \pi$

(3) $f'(x) = 36x^2 - 24x - 3 = 3(12x^2 - 8x - 1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 48}}{24} = \frac{8 \pm \sqrt{112}}{24} = \frac{8 \pm 4\sqrt{7}}{24} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{6}$

$x = \frac{2 + \sqrt{7}}{6} \approx 0.77$ および $x = \frac{2 - \sqrt{7}}{6} \approx -0.43$

$x = \frac{2+\sqrt{7}}{6}$ のとき、$f(x)$ は極大となる。

$\cos\theta = \frac{2+\sqrt{7}}{6}$ のとき、$y$ は最大値をとる。

$f(\frac{2+\sqrt{7}}{6}) = 12(\frac{2+\sqrt{7}}{6})^3 - 12(\frac{2+\sqrt{7}}{6})^2 - 3(\frac{2+\sqrt{7}}{6}) + 3 = 3.45 > 0$

$f(-0.43)$ で $y$ は極小値を取る。

$x = (2 + \sqrt{7}) / 6$ のとき $y$ は最大となる。このとき $\cos \theta = \frac{2 + \sqrt{7}}{6}$

$y$ の最大値は、$12(\frac{2+\sqrt{7}}{6})^3 - 12(\frac{2+\sqrt{7}}{6})^2 - 3(\frac{2+\sqrt{7}}{6}) + 3 = (14 + 7\sqrt{7}) / 9 = \frac{14 + 7\sqrt{7}}{9} \approx 3.4$

$\cos \theta = \frac{2 + \sqrt{7}}{6} \approx 0.77$ より $\theta \approx 0.68$ ラジアン

$\frac{\pi}{4} \approx 0.785$, $\frac{\pi}{6} \approx 0.52$ なので、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 12x^3 - 12x^2 - 3x + 3$

(2) $\frac{2}{3}\pi < \theta \le \pi$

(3) $\cos\theta = \frac{2 + \sqrt{7}}{6}$ で、その最大値は $\frac{14 + 7\sqrt{7}}{9}$

$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{4}$