無限等比数列 $1, -(x^2-2), (x^2-2)^2, -(x^2-2)^3, \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める。

1. 問題の内容

無限等比数列 $1, -(x^2-2), (x^2-2)^2, -(x^2-2)^3, \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める。

2. 解き方の手順

無限等比数列 $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ が収束するための条件は、

(1) $a = 0$ または

(2) $-1 < r \leq 1$

である。

この問題の場合、$a=1$ であるから、$a=0$ の場合は考慮しなくてよい。

したがって、$-1 < r \leq 1$ の場合を考える。

この数列の公比 $r$ は、 $r = -(x^2 - 2)$ である。

したがって、$-1 < -(x^2 - 2) \leq 1$ を解く必要がある。

まず、$-(x^2 - 2) \leq 1$ を解く。

$-x^2 + 2 \leq 1$

$-x^2 \leq -1$

$x^2 \geq 1$

$x \leq -1$ または $x \geq 1$

次に、$-1 < -(x^2 - 2)$ を解く。

$-1 < -x^2 + 2$

$x^2 < 3$

$-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

したがって、$x$ の範囲は、$-\sqrt{3} < x \leq -1$ または $1 \leq x < \sqrt{3}$ となる。

$x \leq -1$ または $x \geq 1$ と $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ の共通範囲を求める。

$-\sqrt{3} < x \leq -1$ または $1 \leq x < \sqrt{3}$

このとき、極限値は$\frac{1}{1 - r}$である。

$r = -(x^2-2)$より、$\frac{1}{1 - (-(x^2-2))} = \frac{1}{1 + x^2 - 2} = \frac{1}{x^2 - 1}$

$x^2-2 = 1$のとき、つまり$x = \pm \sqrt{3}$のとき、極限値は１となる。

3. 最終的な答え

$x$ の値の範囲は $-\sqrt{3} < x \leq -1$ または $1 \leq x < \sqrt{3}$

極限値は $x = \pm \sqrt{3}$ の時１、$-\sqrt{3} < x < -1$ または $1 < x < \sqrt{3}$ の時 $\frac{1}{x^2 - 1}$