以下の3つの定積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{2} x(x^2-1)^3 dx$ (2) $\int_{-1}^{0} x\sqrt{x+1} dx$ (3) $\int_{-\sqrt{3}}^{0} \frac{2x}{\sqrt{4-x^2}} dx$

## 定積分の問題

1. 問題の内容

以下の3つの定積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{2} x(x^2-1)^3 dx$

(2) $\int_{-1}^{0} x\sqrt{x+1} dx$

(3) $\int_{-\sqrt{3}}^{0} \frac{2x}{\sqrt{4-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{2} x(x^2-1)^3 dx$ の計算

置換積分を行います。$u = x^2 - 1$ とすると、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

積分範囲も変更します。$x=1$ のとき $u = 1^2 - 1 = 0$、$x=2$ のとき $u = 2^2 - 1 = 3$。

したがって、

$\int_{1}^{2} x(x^2-1)^3 dx = \int_{0}^{3} u^3 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^3 du$

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^3 du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^3 = \frac{1}{2} \left( \frac{3^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{81}{4} = \frac{81}{8}$

(2) $\int_{-1}^{0} x\sqrt{x+1} dx$ の計算

置換積分を行います。$t = x+1$ とすると、$x = t-1$、$dx = dt$ となります。

積分範囲も変更します。$x=-1$ のとき $t = -1+1 = 0$、$x=0$ のとき $t = 0+1 = 1$。

したがって、

$\int_{-1}^{0} x\sqrt{x+1} dx = \int_{0}^{1} (t-1)\sqrt{t} dt = \int_{0}^{1} (t^{3/2} - t^{1/2}) dt$

$\int_{0}^{1} (t^{3/2} - t^{1/2}) dt = \left[ \frac{t^{5/2}}{5/2} - \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_0^1 = \left[ \frac{2}{5}t^{5/2} - \frac{2}{3}t^{3/2} \right]_0^1$

$= \left( \frac{2}{5}(1)^{5/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{5}(0)^{5/2} - \frac{2}{3}(0)^{3/2} \right) = \frac{2}{5} - \frac{2}{3} = \frac{6-10}{15} = -\frac{4}{15}$

(3) $\int_{-\sqrt{3}}^{0} \frac{2x}{\sqrt{4-x^2}} dx$ の計算

置換積分を行います。$u = 4-x^2$ とすると、$du = -2x dx$ より $2x dx = -du$ となります。

積分範囲も変更します。$x=-\sqrt{3}$ のとき $u = 4 - (-\sqrt{3})^2 = 4-3 = 1$、$x=0$ のとき $u = 4 - 0^2 = 4$。

したがって、

$\int_{-\sqrt{3}}^{0} \frac{2x}{\sqrt{4-x^2}} dx = \int_{1}^{4} \frac{-1}{\sqrt{u}} du = - \int_{1}^{4} u^{-1/2} du$

$- \int_{1}^{4} u^{-1/2} du = - \left[ \frac{u^{1/2}}{1/2} \right]_1^4 = - \left[ 2\sqrt{u} \right]_1^4 = - (2\sqrt{4} - 2\sqrt{1}) = - (2\cdot 2 - 2\cdot 1) = - (4-2) = -2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{81}{8}$

(2) $-\frac{4}{15}$

(3) $-2$