与えられた不定積分 $\int x \sqrt[3]{1+x} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int x \sqrt[3]{1+x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sqrt[3]{1+x}$ と置換します。

すると、$t^3 = 1+x$ となり、$x = t^3 - 1$ が得られます。

さらに、$dx = 3t^2 dt$ となります。

したがって、積分は以下のように変換されます。

$\int x \sqrt[3]{1+x} \, dx = \int (t^3-1)t \cdot 3t^2 \, dt$

$= 3 \int (t^4 - t) t^2 \, dt$

$= 3 \int (t^6 - t^3) \, dt$

積分を計算すると、

$= 3 \left( \frac{t^7}{7} - \frac{t^4}{4} \right) + C$

$= \frac{3}{7} t^7 - \frac{3}{4} t^4 + C$

ここで、$t = \sqrt[3]{1+x}$ を代入して、元の変数 $x$ で表します。

$= \frac{3}{7} (1+x)^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{4} (1+x)^{\frac{4}{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\int x \sqrt[3]{1+x} \, dx = \frac{3}{7} (1+x)^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{4} (1+x)^{\frac{4}{3}} + C$