16番では、与えられた関数を微分します。(1) $y=(-3x+2)^3$、(3) $y=\sqrt[3]{(3x+2)^4}$ 17番では、与えられた極限を計算します。(1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}$

1. 問題の内容

16番では、与えられた関数を微分します。(1) $y=(-3x+2)^3$、(3) $y=\sqrt[3]{(3x+2)^4}$

17番では、与えられた極限を計算します。(1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}$

2. 解き方の手順

16 (1): $y=(-3x+2)^3$ の微分

合成関数の微分公式を使用します。$y = u^3$, $u = -3x+2$とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3(-3x+2)^2$

$\frac{du}{dx} = -3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3(-3x+2)^2 \cdot (-3) = -9(-3x+2)^2$

16 (3): $y=\sqrt[3]{(3x+2)^4}$ の微分

$y=(3x+2)^{\frac{4}{3}}$ と書き換えます。

合成関数の微分公式を使用します。$y = u^{\frac{4}{3}}$, $u = 3x+2$とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{4}{3}u^{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}(3x+2)^{\frac{1}{3}}$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{3}(3x+2)^{\frac{1}{3}} \cdot 3 = 4(3x+2)^{\frac{1}{3}}$

17 (1): $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}$ の極限

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 3\theta}{2\theta} = \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3\theta}{2\theta} = \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3}{2}$

$\theta \to 0$ のとき、$3\theta \to 0$ なので、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{3\theta} = 1$

したがって、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

16 (1): $\frac{dy}{dx} = -9(-3x+2)^2$

16 (3): $\frac{dy}{dx} = 4(3x+2)^{\frac{1}{3}}$

17 (1): $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta} = \frac{3}{2}$