問題は、極限 $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=n+1}^{3n} \frac{1}{n+k}$ を積分を用いて計算し、その結果を $\log$ の形で表すというものです。積分は $\int_a^b \frac{1}{1+x} dx$ の形で与えられており、積分範囲 $a$ と $b$ 、および $\log$ の中身を求める必要があります。

1. 問題の内容

問題は、極限 $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=n+1}^{3n} \frac{1}{n+k}$ を積分を用いて計算し、その結果を $\log$ の形で表すというものです。積分は $\int_a^b \frac{1}{1+x} dx$ の形で与えられており、積分範囲 $a$ と $b$ 、および $\log$ の中身を求める必要があります。

2. 解き方の手順

与えられた和を積分に変換するために、和を $n$ で割ることを考えます。

$\frac{1}{n+k} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$ と変形できます。

ここで、$\frac{k}{n} = x$ とおくと、$k=n(1+\Delta x)$ であり、$k$ は $n+1$ から $3n$ まで動くので、$x$ は $\frac{n+1}{n}$ から $\frac{3n}{n}$ まで動きます。

$n \to \infty$ のとき、$\frac{n+1}{n} \to 1$ であり、$\frac{3n}{n} = 3$ です。

したがって、与えられた極限は積分

$$\int_1^3 \frac{1}{1+x} dx$$

に等しくなります。

この積分を計算します。

$\frac{1}{1+x}$ の原始関数は $\log(1+x)$ です。

したがって、積分は

$$\int_1^3 \frac{1}{1+x} dx = [\log(1+x)]_1^3 = \log(1+3) - \log(1+1) = \log(4) - \log(2) = \log(\frac{4}{2}) = \log(2)$$

となります。

3. 最終的な答え

したがって、積分範囲は $1$ から $3$ であり、$\log$ の中身は $2$ です。

つまり、$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=n+1}^{3n} \frac{1}{n+k} = \int_1^3 \frac{1}{1+x} dx = \log 2$ となります。