定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分子が分母の微分の定数倍になっていることに注目する。分母 $x^3 - 3x^2 + 1$ を $u$ とおくと、$du = (3x^2 - 6x) dx = 3(x^2 - 2x) dx$ となる。したがって、

$\frac{1}{3} du = (x^2 - 2x) dx$

となる。

これを利用して、積分を置換積分で計算する。積分範囲も変換する必要がある。

$x=1$ のとき $u = 1^3 - 3(1^2) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$

$x=2$ のとき $u = 2^3 - 3(2^2) + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$

したがって、

$\int_{1}^{2} \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx = \int_{-1}^{-3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_{-1}^{-3} \frac{1}{u} du$

$\frac{1}{3} \int_{-1}^{-3} \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} [\ln|u|]_{-1}^{-3} = \frac{1}{3} (\ln|-3| - \ln|-1|) = \frac{1}{3} (\ln 3 - \ln 1) = \frac{1}{3} (\ln 3 - 0) = \frac{1}{3} \ln 3$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln 3$