関数 $f(x) = 3x^2$ について、導関数 $f'(a)$ を求め、さらにグラフ上の点 $(1,3)$ における接線の傾きを求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 3x^2$ について、導関数 $f'(a)$ を求め、さらにグラフ上の点 $(1,3)$ における接線の傾きを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = 3x^2$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

べき乗の微分公式 $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ を用いると、

$f'(x) = 3 \cdot 2x = 6x$ となる。

したがって、$f'(a) = 6a$ である。

次に、点 $(1,3)$ における接線の傾きを求める。接線の傾きは、その点における導関数の値に等しい。

つまり、$x=1$ のときの $f'(x)$ の値を計算すればよい。

$f'(1) = 6 \cdot 1 = 6$ である。

3. 最終的な答え

$f'(a) = 6a$

点 $(1,3)$ における接線の傾きは $6$