定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{3} \frac{dx}{x^2 + 9}$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{3} \frac{dx}{x^2 + 9}$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{dx}{x^2+9}$ を求めます。

これは $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ の公式を利用します。

この問題では、$a^2 = 9$ なので、$a = 3$ です。

したがって、

$\int \frac{dx}{x^2 + 9} = \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-\sqrt{3}}^{3} \frac{dx}{x^2 + 9} = \left[ \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) \right]_{-\sqrt{3}}^{3}$

$= \frac{1}{3} \arctan(\frac{3}{3}) - \frac{1}{3} \arctan(\frac{-\sqrt{3}}{3})$

$= \frac{1}{3} \arctan(1) - \frac{1}{3} \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3})$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

$\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$

したがって、

$\frac{1}{3} \arctan(1) - \frac{1}{3} \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{3} (-\frac{\pi}{6})$

$= \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{18}$

$= \frac{3\pi}{36} + \frac{2\pi}{36}$

$= \frac{5\pi}{36}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\pi}{36}$