与えられた極限を計算します。 $$\lim_{z\to -1} \frac{z^2+1}{z+1}$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{z\to -1} \frac{z^2+1}{z+1}$$

2. 解き方の手順

$z^2 + 1$ を $z+1$ で割った時の極限を求めます。分子は $z=-1$ で $0$ にならないので、極限は存在しません。しかし、問題が$\lim_{z\to -1} \frac{z^2 - 1}{z+1}$であれば、以下のように計算できます。

分子を因数分解します。

$$z^2 - 1 = (z-1)(z+1)$$

したがって、

$$\lim_{z\to -1} \frac{z^2 - 1}{z+1} = \lim_{z\to -1} \frac{(z-1)(z+1)}{z+1} = \lim_{z\to -1} (z-1)$$

$z$ に $-1$ を代入します。

$$\lim_{z\to -1} (z-1) = -1 - 1 = -2$$

元の問題では$\lim_{z\to -1} \frac{z^2+1}{z+1}$であり、 $z = -1$とすると分子は$(-1)^2+1 = 2$になり、分母は$(-1)+1 = 0$になります。したがって、これは$2/0$の形なので、極限は存在しないか、$\pm \infty$になります。

$z = -1 + \epsilon$ とすると、$z^2+1 = (-1+\epsilon)^2 + 1 = 1 - 2\epsilon + \epsilon^2 + 1 = 2 - 2\epsilon + \epsilon^2$ および $z+1 = -1+\epsilon+1 = \epsilon$ となり、

$\frac{z^2+1}{z+1} = \frac{2 - 2\epsilon + \epsilon^2}{\epsilon} = \frac{2}{\epsilon} - 2 + \epsilon$となります。$\epsilon \to 0$とすると$\frac{2}{\epsilon}$は$\epsilon$の符号に応じて$\pm \infty$になるので、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しません。