関数 $f(a) = \int_{0}^{1} (3a^2x^2 - 4ax)dx$ の最小値と、そのときの $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(a) = \int_{0}^{1} (3a^2x^2 - 4ax)dx$ の最小値と、そのときの $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(a)$ を計算します。

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f(a) = \int_{0}^{1} (3a^2x^2 - 4ax)dx = [a^2x^3 - 2ax^2]_0^1 = a^2 - 2a

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次に、$f(a) = a^2 - 2a$ の最小値を求めます。これは $a$ についての二次関数なので、平方完成することで最小値を求められます。

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f(a) = a^2 - 2a = (a - 1)^2 - 1

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この式から、$f(a)$ は $a=1$ のとき最小値 $-1$ をとることがわかります。

3. 最終的な答え

最小値: $-1$

$a$ の値: $1$