$\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、三角関数置換を用いて解くことができます。

ステップ1: 置換

$x = 3\sin\theta$ と置換します。このとき、$dx = 3\cos\theta d\theta$ となります。

また、積分範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$3\sin\theta = 0$ なので、$\theta = 0$ です。

$x = 3$ のとき、$3\sin\theta = 3$ なので、$\sin\theta = 1$ となり、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

ステップ2: 置換後の積分

置換を行うと、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9 - (3\sin\theta)^2} \cdot 3\cos\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} \cdot 3\cos\theta d\theta$

ステップ3: 式の整理

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9(1 - \sin^2\theta)} \cdot 3\cos\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9\cos^2\theta} \cdot 3\cos\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3\cos\theta \cdot 3\cos\theta d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 9\cos^2\theta d\theta$

ステップ4: $\cos^2\theta$ の積分

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ を用いて、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 9\cos^2\theta d\theta = 9 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{9}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2\theta)) d\theta$

$= \frac{9}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{9}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi) - (0 + \frac{1}{2}\sin(0)) \right]$

$= \frac{9}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - 0 \right] = \frac{9\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\pi}{4}$